توضیحات
خرید بانک سوال ریاضیات 1 آزمون YÖS از انتشارات زبان آفرین
بانک سوال ریاضیات 1 آزمون YÖSاین مجموعه شامل سوالات منتخب و سطحبندیشدهی ریاضیات 2 آزمون YÖS بههمراه حلهای تشریحی و توضیحات طولانی و مفهومی است. هدف، تقویت درک عمیق مفاهیم و آمادگی برای سوالات استاندارد و ترکیبی YÖS میباشد.
فهرست مباحث
- توابع (Function)
- حد و پیوستگی (Limit & Continuity)
- مشتق (Derivative)
- کاربرد مشتق
- انتگرال
- هندسه تحلیلی
- ترکیبی و سطح بالا (Mixed / Advanced)
1. توابع
سوال 1
اگر تابع
[ f(x) = |2x-4| + 3 ]
باشد، برد تابع را بهدست آورید.
حل تشریحی:
عبارت قدرمطلق همیشه نامنفی است، یعنی:
[ |2x-4| \ge 0 ]
کمترین مقدار (|2x-4|) زمانی است که:
[ 2x-4 = 0 \Rightarrow x=2 ]
در این حالت:
[ f(2) = 0 + 3 = 3 ]
از آنجا که مقدار قدرمطلق میتواند تا بینهایت بزرگ شود، تابع نیز به سمت بینهایت میل میکند.
برد تابع:
[ [3 , +\infty) ]
سوال 2
تابع زیر را بررسی کنید:
[ f(x)=\frac{x^2-9}{x-3} ]
دامنه تابع را تعیین کنید.
حل تشریحی:
صورت کسر را تجزیه میکنیم:
[ x^2-9 = (x-3)(x+3) ]
پس تابع به شکل زیر ساده میشود:
[ f(x)=x+3 ]
اما توجه مهم: مقدار x=3 در مخرج صفر میشود، حتی اگر سادهسازی انجام شده باشد.
بنابراین:
دامنه تابع:
[ \mathbb{R} – {3} ]
2. حد و پیوستگی
سوال 3
حد زیر را محاسبه کنید:
[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} ]
حل تشریحی:
جایگذاری مستقیم باعث حالت (0/0) میشود، پس باید سادهسازی کنیم.
[ x^2-4 = (x-2)(x+2) ]
پس:
[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 ]
اکنون حد را میگیریم:
[ \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 ]
پاسخ نهایی: 4
3. مشتق
سوال 4
مشتق تابع زیر را بیابید:
[ f(x)=3x^3-5x^2+4x-7 ]
حل تشریحی:
از قوانین پایه مشتق استفاده میکنیم:
- مشتق (x^n) برابر است با (nx^{n-1})
- مشتق عدد ثابت صفر است
[ f'(x)=9x^2-10x+4 ]
4. کاربرد مشتق
سوال 5
نقاط ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را پیدا کنید:
[ f(x)=x^3-3x^2+2 ]
حل تشریحی:
ابتدا مشتق میگیریم:
[ f'(x)=3x^2-6x ]
نقاط بحرانی:
[ 3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 , x=2 ]
برای تشخیص نوع نقطه، مشتق دوم:
[ f”(x)=6x-6 ]
- (f”(0)=-6 < 0) → ماکزیمم
- (f”(2)=6 > 0) → مینیمم
5. انتگرال
سوال 6
انتگرال زیر را محاسبه کنید:
[ \int (4x^3-2x+1) dx ]
حل تشریحی:
انتگرال هر جمله را جداگانه میگیریم:
[ \int 4x^3 dx = x^4 ]
[ \int -2x dx = -x^2 ]
[ \int 1 dx = x ]
پس:
[ x^4 – x^2 + x + C ]
6. هندسه تحلیلی
سوال 7
معادله خطی که از نقطه ((2,3)) گذشته و شیب آن 4 است را بیابید.
حل تشریحی:
فرم معادله خط:
[ y-y_1 = m(x-x_1) ]
[ y-3 = 4(x-2) ]
[ y = 4x – 5 ]
7. سوال ترکیبی (سطح بالا)
سوال 8
اگر:
[ f(x)=x^2 ]
و
[ g(x)=\sqrt{x} ]
باشد، تابع ترکیبی (f(g(x))) را بیابید و دامنه آن را مشخص کنید.
حل تشریحی:
[ f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x ]
اما توجه: تابع (g(x)) فقط برای (x \ge 0) تعریف شده است.
دامنه تابع ترکیبی:
[ [0, +\infty) ]
جمعبندی
این بانک سوال، نمونهای استاندارد از سوالات پرتکرار ریاضیات 2 آزمون YÖS است که با توضیحات طولانی و مفهومی طراحی شده تا:
- درک عمیق ایجاد کند
- مناسب خودآموزی باشد
- برای داوطلبان سطح متوسط تا قوی مفید باشد
در صورت نیاز میتوانم:
- سوالات چهارگزینهای YÖS اضافه کنم
- سطح سوالات را سختتر کنم
- یا آن را به PDF آموزشی تبدیل کنم
هنوز بررسیای ثبت نشده است.